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高中数学选修1-2回归分析第一节ppt课件

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高中数学选修1-2回归分析第一节ppt课件

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这是高中数学选修1-2回归分析第一节ppt课件下载,主要介绍了回归分析的基本思想及其初步应用;刻画回归效果的方式;刻画回归效果的方式;建立回归模型的基本步骤,欢迎点击下载。

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 【课标要求】 1.了解随机误差、残差、残差分析的概念; 2.会用残差分析判断线性回归模型的拟合效果; 3.掌握建立回归模型的步骤; 4.通过对典型案例的探究,了解回归分析的基本思想方法 和初步应用. 【核心扫描】 1.利用散点图分析两个变量是否存在相关关系,求线性回归方程.(重点) 2.回归模型的选择,特别是非线性回归模型.(难点、易错点) 自学导引 1.回归分析 回归分析是对具有 的两个变量进行统计分析的一种常用方法. 2.线性回归模型 (1)由散点图易发现,样本点散布在某一条直线附近,而不是一条直线上,不能用一次函数y=bx+a描述它们之间的关系,因此用线性回归模型y=bx+a+e来表示,其中a、b为未知参数,e为 . (3)解释变量和预报变量 线性回归模型与一次函数模型的不同之处是增加了随机误差项e,因变量y由 和 共同确定,即自变量x只解释部分y的变化,在统计中,我们也把自变量x称为解释变量,因变量y称为预报变量. 试一试:下表是x和y之间的一组数据,则y关于x的线性回归方程必过(  ). A.点(2,3) B.点(1.5,4) C.点(2.5,4) D.点(2.5,5) 3.刻画回归效果的方式 想一想:回归分析中,利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗?为什么? 提示 不一定是真实值,利用线性回归方程求的值,在很多时候是个预报值,例如,人的体重与身高存在一定的线性关系,但体重除了受身高的影响外,还受其他因素的影响,如饮食,是否喜欢运动等. 4.非线性回归分析 (1)非线性相关关系:样本点分布在某一条曲线的周围,而不是一条直线附近.我们就称这两个变量之间不具有线性相关关系而是非线性相关关系. (2)非线性回归方程线性化 ①y=axn(其中a,x,y均为正值)(幂函数型函数) lg y=lg a+n lg x,令u=lg y,v=lg x,b=lg a, 则u=nv+b,图象为一直线. ②y=cax(a>0,c>0)(指数型函数) lg y=x lg a+lg c,令u=lg y,b=lg c,d=lg a, 则u=dx+b,图象为一直线. 2.线性回归分析 (1)由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值. (2)随机误差的主要来源 ①线性回归模型与真实情况引起的误差; ②省略了一些因素的影响产生的误差; ③观测与计算产生的误差. (3)残差分析是回归分析的一种方法. (4)用相关指数R2来刻画回归效果. R2越大,意味着残差平方和越小,即模型的拟合效果越好;R2越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差. (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量. (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等). (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程). (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数. (5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大或残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等. 题型一 求线性回归方程 【例1】 某班5名学生的数学和物理成绩如下表: (1)画出散点图; (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程; (3)一名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩. [思路探索] 先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关,若相关再利用线性回归模型求解. 规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于性质不明确的两组数据,可先作散点图,在图上看它们有无关系,关系的密切程度,然后再进行相关回归分析. (2)求回归直线方程,首先应注意到,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归直线方程才有实际意义,否则,求出的回归直线方程毫无意义. 【变式1】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据: (1)画出数据对应的散点图; (2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线; (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格. 题型二 线性回归分析 【例2】 为研究重量x(单位:克)对弹簧长度y(单位:厘米)的影响,对不同重量的6个物体进行测量,数据如下表所示: (1)作出散点图并求线性回归方程; (2)求出R2; (3)进行残差分析. [思路探索] 作残差分析时,一般从以下几个方面予以说明:(1)散点图;(2)相关指数;(3)残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄. (2)列表如下: (3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大,需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误,如果有的话,需要纠正数据,重新建立回归模型;由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中,说明选用的线性回归模型的精度较高,由以上分析可知,弹簧长度与拉力成线性关系. 规律方法 当资料点较少时,也可以利用残差表进行残差分析,注意计算数据要认真细心,残差分析要全面. 【变式2】 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据: 求y对x的回归直线方程,并说明回归模型拟合效果的好坏. 题型三 非线性回归分析 【例3】 下表为收集到的一组数据: (1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系; (2)建立x与y的关系,预报回归模型并计算残差; (3)利用所得模型,预报x=40时y的值. (1)画出散点图或进行相关性检验,确定两变量x、y是否线性相关.由散点图得x、y之间的回归模型. (2)进行拟合,预报回归模型,求回归方程. [规范解答] (1)作出散点图如下图,从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1ec2x的周围,其中c1、c2为待定的参数.(4分) (2)对两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则有变换后的样本点应分布在直线z=bx+a,a=ln c1,b=c2的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为: 求得回归直线方程为=0.272x-3.849, ∴=e0.272x-3.849. (8分) 残差 【题后反思】 解决非线性回归问题的方法及步骤 (1)确定变量:确定解释变量为x,预报变量为y; (2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型; (3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题; (4)分析拟合效果:通过计算相关指数等来判断拟合效果; (5)写出非线性回归方程. 【变式3】 为了研究某种细菌随时间x变化时,繁殖个数y的变化,收集数据如下: (1)用天数x作解释变量,繁殖个数y作预报变量,作出这些数据的散点图; (2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系; (3)计算相关指数. 解 (1)所作散点图如图所示. (2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=c1ec2x的周围,于是令z=ln y,则有变换后的样本点应分布在直线z=bx+a,a=ln c1,b=c2的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为: 用相关指数R2来比较模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好,并不是R2越小拟合效果更好.

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