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2.3.2离散型随机变量的方差2PPT

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这是2.3.2离散型随机变量的方差2PPT下载,主要介绍了离散型随机变量的方差、标准差的定义,服从两点分布与二项分布的随机变量的方差,方差和标准差的计算,求离散型随机变量X的方差的基本步骤,运用均值和方差分析实际,例题解析等内容,欢迎点击下载。

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2.3.2 离散型随机变量的方差
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和计算.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质,以及两点分布、二项分布的方差的求法,会利用公式求它们的方差.
1.离散型随机变量的方差与标准差的概念和计算.(难点)
2.离散型随机变量的均值意义与方差意义的区别与联系.(易混点)
3.两点分布、二项分布的方差的求法.
有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度,抗拉强度的分布列分别如下;
其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120,那么甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好?
1.离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义:设离散型随机变量X的分布列为
(2)意义:随机变量的方差和均值都反映了随机变量取值偏离于         的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的    .
(3)离散型随机变量方差的性质
设a,b为常数,则D(aX+b)=   .
2.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
1.给出下列四个命题:
①离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均值;
②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平;
③离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平;
④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值偏离于均值的平均程度.
则正确命题应该是(  )
A.①④           B.②③
C.①②      D.③④
解析: 由方差和均值的意义知选D.
答案: D
3.若ξ的分布列如下表所示:
其中p∈(0,1),则E(ξ)=________,D(ξ)=________.
解析: E(ξ)=0×p+1×q=q,而由已知分布列的性质有p+q=1,∴D(ξ)=(0-q)2p+(1-q)2q=q2p+p2q=pq(p+q)=pq.
答案: q pq
已知随机变量ξ的分布列为
[题后感悟] (1)求离散型随机变量X的方差的基本步骤:
(2)对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aξ+b)=a2D(ξ),这样处理既避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.
(3)若ξ~B(n,p),则D(ξ)=np(1-p),若ξ服从两点分布,则D(ξ)=p(1-p),其中p为成功概率,应用上述两条可大大简化解题过程.
1.已知X是一个随机变量,随机变量X+5的分布列如下:
求:(1)E(X+5)的值;
(2)D(X)的值.
甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:
甲保护区:
乙保护区:
试评定这两个保护区的管理水平.
[策略点睛]
[解题过程] 甲保护区的违规次数ξ1的均值和方差为:
E(ξ1)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;
D(ξ1)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21;
乙保护区的违规次数ξ2的均值和方差为:
E(ξ2)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;
D(ξ2)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41;
[题后感悟] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值的大小还不够,如果两个变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算方差,方差大说明随机变量取值较分散,反之则说明取值较集中、稳定.因此在利用均值和方差的意义去分析、解决问题时,两者都要分析. 
2.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量,分别记为X1和X2,它们的分布列分别为
计算X1和X2的均值和方差,并以此分析甲、乙两射手的技术状况.
DX1=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41,
DX2=(0-1.4)2×0.2+(1-1.4)2×0.2+(2-1.4)2×0.6=0.64.
由上述计算知,乙的平均水平较甲好一点,但乙的稳定性不如甲.
在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球,其中有1个红球和4个黄球,规定每次从袋中任意摸出一球,若摸出的是黄球则不再放回,直到摸出红球为止,求摸球次数ξ的期望和方差.
∴ξ的分布列为
由定义知:E(ξ)=0.2×(1+2+3+4+5)=3,… … 10分
D(ξ)=0.2×(22+12+02+12+22)=2. … … … … … 12分
[题后感悟] 解答此类问题要注意以下几个问题:
(1)准确表达出有关随机变量的分布列,完成此环节的难点是弄清随机变量各取值的含义,用参数表示有关量.
(2)熟练应用均值、方差的计算公式和性质,
①应用公式关键是先明确公式中有关量的含义,再从题目条件中寻找它的取值;
②对于两点分布,二项分布等特殊分布列要注意求均值、方差特定结论的应用. 
3.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列,期望和方差;
(2)若η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.
(2)随机变量的方差与样本方差的关系
样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常数(量)而非变量.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来越接近于总体方差.
[提醒] 方差的单位是随机变量单位的平方;标准差与随机变量本身有相同的单位.
2.离散型随机变量方差的性质有哪些特例?它们各有什么含义?
对方差的性质D(aX+b)=a2D(X)来说,有以下特例
(1)当a=0时,D(b)=0,即常数的方差为零.
(2)当a=1时,D(X+b)=D(X),即随机变量与常数之和的方差,等于这个随机变量方差本身.
(3)当b=0时,D(aX)=a2D(X)即随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这随机变量方差的乘积.
◎设ξ是一个离散型随机变量,其分布列如下:
求q的值,并求Eξ、Dξ.
ξ的分布列为:
 

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