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第11章第2讲直接证明与间接证明PPT

  • 素材大小:1.36 MB
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  • 更新时间:2018-04-13
  • 素材类别:数学课件PPT
  • 素材格式:.ppt
  • 关键提要:第11章第2讲直接证明与间接证明PPT,直接证明与间接证明
  • 素材版本:PowerPoint2003及以上版本(.ppt)
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第11章第2讲直接证明与间接证明PPT

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第11章第2讲直接证明与间接证明PPT
最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点;2.了解反证法的思考过程和特点.
1.直接证明
2.间接证明
 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.
 (1)反证法的定义:假设原命题______(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出______,因此说明假设错误,从而证明__________的证明方法.
 (2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.(     )
 (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(      )
 (3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.(     )
 (4)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.(      )
2.(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 (  )
 A.方程x3+ax+b=0没有实根
 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
 解析 因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,所以要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.
 答案 A
3.设a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系为 (  )
 A.a>b B.a<b
 C.a=b D.a≤b
 解析 a=lg 2+lg 5=1,b=ex,当x<0时,0<b<1,
 ∴a>b.
 答案 A
4.若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是(  )
解析 a2-ab=a(a-b),
 ∵a<b<0,∴a-b<0,∴a2-ab>0,
 ∴a2>ab.  ①
 又ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2, ②
 由①②得a2>ab>b2.
 答案 B
5.(人教A选修1-2P37例3改编)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为________.
答案 等边三角形
考点一 综合法的应用
【例1】 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
规律方法 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式;(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.
考点二 分析法的应用
【例2】 已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.
 证明 要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立,
 只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0,
 即2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0,
 即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.
 ∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
 从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立,
 ∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
规律方法 (1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.
证明 ∵m>0,∴1+m>0.所以要证原不等式成立,
 只需证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2)
 即证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0,
 而(a-b)2≥0显然成立,故原不等式得证.
考点三 反证法的应用
【例3】 设{an}是公比为q的等比数列.
 (1)推导{an}的前n项和公式;
 (2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
规律方法 用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.
【训练3】 已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.
[思想方法]
1.综合法的特点是:以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件.
 分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,逐步寻找结论成立的充分条件.
2.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题时常常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来.
3.利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设的命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.
[易错防范]
 注意推理的严谨性,在证明过程中每一步推理都要有充分的依据,这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论,不可盲目使用正确性未知的自造结论.在使用反证法证明数学命题时,反设必须恰当,如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.
 

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